Co je chaos, fraktál a vůbec něco o základech stvoření - 2

Pojednání o atraktorech

Co to je vlastně atraktor? Podle definice z první kapitoly je to konečný stav systému. To není moc zajímavá věta a je těžké si podle ní něco představit. Atraktor můžeme naštěstí lehce zobrazit na grafu, tedy pokud nemá systém více jak tři rozměry. Zde bych rád zavedl pojem fázový prostor. Pro pohyb hmotného bodu si vystačíme s třemi souřadnicemi a jestliže přidáme i všechny 3 složky vektoru jeho rychlosti dostaneme 6 souřadnic - fázový prostor. Problém nastane tehdy, když chceme chování (např. pohyb) systému, který se nedá definovat pomocí jednoho hmotného bodu - pohyb pružných, kapalných těles nelze jednoduše zanášet do grafu, ale matematicky se chování těchto systémů dá v principu zvládnout.

V první kapitole v odstavci pojmy je také uvedeno velmi hrubé dělení atraktorů. Začněme bodem. Například fyzikální kyvadlo (podléhající tření) se postupně zastavuje a když se zcela zastaví, dosáhne svého atraktoru. Zde se situace zjednodušuje tím, že kyvadlo je de facto hmotný bod. Jak můžeme zobrazit jeho chování? Například máme dvojrozměrný graf, osa x představuje čas, a na osu y nanášíme aktuální výchylku. Zpočátku dostaneme graf podobný funkci cos, ale s postupujícím časem se křivka vyhlazuje, až se z ní stane přímka - kyvadlo se zastavilo. Můžeme ještě přidat třetí prostor - aktuální rychlost kyvadla - a jsem u fázového prostoru. Nebo to můžeme udělat jinak - ignorujeme čas a na graf vykreslujeme jen aktuální výchylku a aktuální rychlost. Pro nebržděné kyvadlo se nám vykreslí kružnice a pro bržděné spirála - atraktorem je bod uprostřed. Nemusíme dokonce ani kreslit graf - stačí kyvadlo v podobě děravé nádoby s pískem. Ten se stále vysypává a kde je hromádka největší, tam je atraktor (za předpokladu, že se kyvadlo zastaví dříve, než dojde písek). Výhoda tohoto způsobu je v tom, že se kyvadlo může kývat ve dvou rozměrech - tedy nejen tam a zpátky, ale zase nevidíme názorně aktuální rychlost kyvadla. Kyvadlo lze popsat poměrně jednoduchými deterministickými vzorci a tak nás ani nepřekvapí jednoduchost atraktoru. Některé systémy se nespokojí z bodem, ale s cyklicky se opakující křivkou. Třeba matematické kyvadlo. Jeho atraktorem je v grafu naznačeném výše funkce cos. Lepším příkladem jsou planety. Podmínka cyklu je ovšem splněna jen tehdy, když nehmotný bod obíhá kolem hmotného bodu - planety mají zanedbatelnou hmotnost. Jejich atraktor je obyčejná elipsa. Ve skutečnosti to není úplně přesné (planety si Slunce trošičku přitahují a tím porušují uzavřenou elipsu), ale pokud nevysíláme meziplanetární sondu, tak to stačí (také jsme zanedbali zakřivení prostoru…). Podobný atraktor má i mlýnské kolo. Právě na něm si vyznačíme bod a pokud stále přitéká voda, jeho atraktorem je kruh. Vraťme se ale zpátky do vesmíru. Jak je dobře známo, většina hvězd jsou vlastně dvojhvězdy. Předpovídat polohu planety ve Sluneční soustavě je triviální, ale co u dvojhvězdy? To je pořádný oříšek. Představte si ale jinou situaci. Tři srovnatelně hmotná tělesa. To je také pořádný oříšek. Tento je ovšem nerozlousknutelný, neboť koncem předminulého století H. Poincaré dokázal, že analytické řešení neexistuje! Není tedy možné žádným alespoň trochu přesným způsobem předpovědět chování tří blízkých hvězd! Pro podobný úkaz ale nemusíme létat do vzdáleného vesmíru. V pásu asteroidů mezi Marsem a Jupiterem obíhá skupina tří velkých asteroidů, které se jmenují Trojané. Zde je situace ještě komplikovaná přítomností menších těles a prachu. Jaký je tedy atraktor této soustavy? Žádný? Ne, ale je opravdu podivný. To chápejte jako pojem, ne jako přirovnání. Jednotlivé body se na grafu mohou objevovat zdánlivě náhodně a vytvoří nekonečnou křivku(nikde se neprotíná) - podivný atraktor. To že neexistuje analytické řešení by mohlo svádět k domněnce, že tuto soustavu nelze vyjádřit rovnicemi. To sice lze, ale míra vzájemného ovlivňování je velmi vysoká(což je vyjádřeno značnou nelinearitou soustavy). Proto je systém extrémně nestabilní i při malé změně počátečních podmínek. Nyní se vraťme k vodnímu kolu. Mírně si jej ale upravíme.

Vodní kolo nebude mít lopatky, ale na jeho obvodu bude připevněno několik děravých nádob - voda do nich ze shora přiteče, ale bude stále odtékat. Tímto problémem se v padesátých letech minulého století zabýval Edvard Lorenz. Chování tohoto systému vyjádřil několika málo lineárními rovnicemi, tedy které se nijak výrazně neovlivňovaly. Lorenz očekával, že se kolo bude točit buď stále jedním směrem, nebo cyklicky směry měnit a nebo že voda bude rychle odtékat a kolo se zastaví docela. A ejhle, on neudělal ani jedno ani druhé. Přestože je tento systém vyjádřen jednoduchými lineárními rovnicemi, vykazuje extrémně nestabilní chování, které se mimochodem nedá předpovídat. Lorenz na svém počítači zobrazil graf pohybu kola a dostal opravdu podivnou 3D mapu:

Tento podivný atraktor se stal symbolem všech podivných atraktorů a teorie chaosu a najdete jej snad v každé chaotické knize.